REPRESENTAÇÃO DE GRACELI [ NA MEC. QUÂNTICA]

REPRESENTAÇÃO DE GRACELI EM OUTRAS REPRESENTAÇÕES.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

$/$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ - $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

A equação de Lippmann–Schwinger (em homenagem a Bernard Lippmann e Julian Schwinger^[1]) é uma das equações mais utilizadas para descrever colisões de partículas – ou, mais precisamente, de espalhamento – na mecânica quântica. Pode ser usado para estudar o espalhamento das moléculas, átomos, nêutrons, fótons ou quaisquer outras partículas e é importante principalmente para o estudo de física óptica, atômica e molecular, física nuclear e física de partículas, mas também para os problemas de espalhamento em geofísica. Ela refere-se a função de onda espalhada com a interação que produz o espalhamento (potencial espalhador) e, por conseguinte, permite o cálculo dos parâmetros experimentais relevantes (amplitude de espalhamento e a sessão de choque).

A equação mais fundamental para descrever qualquer fenômeno quântico, incluindo o espalhamento, é a equação de Schrödinger. Em problemas físicos esta equação diferencial deve ser resolvida com a entrada de um conjunto adicional de condições iniciais e/ou condições de contorno para o sistema físico estudado. A equação de Lippmann-Schwinger é equivalente à equação Schrödinger mais as condições de contorno para problemas típicos de espalhamento. A fim de incorporar as condições de contorno, a equação Lippmann-Schwinger deve ser escrita como uma equação integral.^[2] Para problemas de espalhamento, a equação de Lippmann-Schwinger muitas vezes é mais conveniente do que a equação de Schrödinger.

A equação de Lippmann-Schwinger é, de forma geral, (na verdade são duas equações mostrados abaixo, uma para $+\,$ e outra para $-\,$ ):

|\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Nas equações acima, $|\psi ^{(+)}\rangle \,$ é a função de onda de todo o sistema (os dois sistemas considerados como um todo colidem) em um tempo infinito antes da interação; e $|\psi ^{(-)}\rangle \,$ , em um tempo infinito após a interação (a "função de onda espalhada"). O potencial de energia $V\,$ descreve a interação entre os dois sistemas em colisão. O Hamiltoniano $H_{0}\,$ descreve a situação em que os dois sistemas estão infinitamente distantes e não interagem. As suas autofunções são $|\phi \rangle \,$ e seus autovalores são as energias $E\,$ . Finalmente, $i\epsilon \,$ é uma questão técnica matemática utilizada para o cálculo das integrais necessárias para resolver a equação e não tem nenhum significado físico.

Na mecânica quântica, a Representação de Dirac ou Representação de Interação é uma intermediação entre a Representação de Schrödinger e a Representação de Heisenberg. Considerando que nas outras duas representações ou o vetor do estado quântico ou o operador possuem dependência com o tempo, na Representação de Dirac ambas possuem parte da dependência do tempo dos observáveis.

Equações que incluem operadores agindo em tempos distintos, que são comportadas na Representação de Dirac, não necessariamente serão comportados nas representações de Schrödinger e Heisenberg. Isto é porque transformações unitárias do tempo se relaciona com operadores de uma representação com o operador análogo da outra representação.

Definição

Operadores e vetores dos estados quânticos na Representação de Dirac são relacionados pela mudança de base para aqueles operadores e vetores na Representação de Schrödinger.^[1]

Para alternar na Representação de Dirac, nós dividimos o hamiltoniano da Representação de Schrödinger em duas partes, $H_{S}=H_{0,S}+H_{1,S}$ . Qualquer escolha das partes nos dará uma Representação de Dirac válida, mas para nos ser útil na simplificação do problema, as partes serão escolhidas de forma que $H_{0,S}$ será facilmente resolvido e $H_{1,S}$ conterá as partes mais difíceis de analisar deste sistema.

Se o hamiltoniano for dependente do tempo (por exemplo, se o sistema quântico interagir com um campo elétrico aplicado externo que varia com o tempo), normalmente nos será vantajoso incluir explicitamente os termos dependentes do tempo com $H_{1,S}$ , deixando o $H_{0,S}$ independente do tempo. Nós iremos assumir que este será o caso. (se existir um contexto em que isto faça sentido ter um $H_{0,S}$ dependente do tempo, então deve-se trocar $e^{\pm iH_{0,S}t/\hbar }$ pelo operador de evolução).

Vetor do estado quântico

O vetor do estado quântico na Representação de Dirac é definido como^[2]

|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Onde $|\psi _{S}(t)\rangle$ é o mesmo vetor da Representação de Schrödinger.

Operadores

Um operador na Representação de Dirac é definido como

A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }A_{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Perceba que $A_{S}(t)$ não será dependente de t e pode ser reescrito como $A_{S}$ .

Operador hamiltoniano

Para o operador $H_{0}$ a Representação de Dirac e Schrödinger são idênticas

H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Isto pode ser comprovador usando o facto que os operadores comutáveis com funções diferenciáveis. Este operador em particular também pode ser escrito da forma $H_{0}$ sem ambiguidade.

Para a perturbação hamiltoniana $H_{1,I}$ , teremos

H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

onde a perturbação hamiltoniana da Representação de Dirac se torna um hamiltoniano dependente do tempo (a não ser que $[H_{1,s},H_{0,s}]=0$ ).

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

É possível de se obter a Representação de Dirac para um hamiltoniano dependente do tempo $H_{0,s}(t)$ , mas os exponencias precisam ser substituídos pelo propagador unitário devido para $H_{0,s}(t)$ ou mais explícito com uma integral exponencial ordenada pelo tempo.

Matriz densidade

A matriz densidade pode se demonstrada transformando a Representação de Dirac da mesma forma como qualquer outro operador. Em particular, deixe $\rho _{I}$ e $\rho _{S}$ ser a matriz de densidade na Representação de Dirac e na Representação de Schrödinger, respectivamente. Se existe possibilidade de $p_{n}$ ser no estado físico $|\psi _{n}\rangle$ , então

\rho _{I}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,I}(t)\rangle \langle \psi _{n,I}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{n,S}(t)\rangle \langle \psi _{n,S}(t)|e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=e^{iH_{0,S}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Equações da evolução temporal

Estados da evolução temporal

Transformando a Equação de Schrödinger numa Representação de Dirac teremos:

i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Esta equação se refere à equação Schwinger-Tomonaga.

Operadores da evolução temporal

Se o operador $A_{S}$ é independente do tempo então a evolução temporal correspondente para $A_{I}(t)$ é dada por

i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Na Representação de Dirac os operadores evoluem no tempo como os operadores da Representação de Heisenberg com o hamiltoniano $H'=H_{0}$ .

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Evolução temporal da matriz densidade

Transformando a equação de Schwinger-Tomonaga na linguagem da matriz densidade teremos

i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle

Na física a Representação de Heisenberg, desenvolvida pelo físico Werner Heisenberg, é a formulação da mecânica quântica onde os operadores (observáveis) são dependentes do tempo e o estado quântico são independentes do tempo. Isto demonstra o contraste com a Representação de Schrödinger na qual os operadores são constantes e o estado quântico se desenvolve no tempo. Estas duas representações apenas se diferem pela mudança na dependência do tempo. Formalmente falando a Representação de Heisenberg é a formulação da mecânica matricial numa base arbitrária, onde o Hamiltoniano não é necessariamente diagonal.

Detalhes matemáticos

Na Representação de Heisenberg da mecânica quântica o estado quântico, $|\psi \rangle$ , não se modifica com o tempo, e um observador A satisfaz a equação

{\frac {d}{dt}}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right),

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

onde H é o hamiltoniano e [·,·] é o comutador de A e H. Em certo sentido, a Representação de Heisenberg é mais natural e fundamental que a Representação de Schrödinger, especialmente para a teoria da relatividade geral e restrita.

A similaridade da Representação de Heisenberg com a física clássica é facilmente identificada ao trocar o comutador da equação acima pelos Parênteses de Poisson, então a equação de Heisenberg se tornará uma equação da mecânica hamiltoniana.

Derivando a equação de Heisenberg

Suponha que nós tenhamos um observador A (que é um operador autoadjunto). O valor esperado de A para um dado estado $|\psi (t)\rangle$ é dado por:

\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

ou se nós escrevermos a seguinte Equação de Schrödinger

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

(onde H é o hamiltoniano independente do tempo e ħ é a Constante de Planck dividida por 2·π) nós teremos

\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle ,

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

e então nós definiremos

A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Agora obteremos

{d \over dt}A(t)={i \over \hbar }He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)+{i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

(diferenciando de acordo com a regra do produto)

={i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)={i \over \hbar }\left(HA(t)-A(t)H\right)+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

(a última passagem é válida já que $e^{-iHt/\hbar }$ comuta com H.) Nós agora estamos à esquerda da Equação de Heisenberg do movimento

{d \over dt}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

(onde [X, Y] é o comutador dos dois operadores e definidos como [X, Y] := XY − YX).

Agora, se nós fizermos uso do operador de igualdade

{e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Nós veremos que para um observador independente do tempo A, nós obteremos:

A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots .

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Devido ao relacionamento entre os Parênteses de Poisson e os comutadores, esta relação também obedece à mecânica clássica.

Relacionamento do comutador

O relacionamento do comutador é bastante diferente à Representação de Schrödinger por causa da dependência do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores $x(t_{1}),x(t_{2}),p(t_{1})$ e $p(t_{2})$ . A evolução no tempo destes operadores depende do hamiltoniano deste sistema. Para um oscilador harmônico de uma dimensão

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

A evolução da posição e do operador do momento é dada por:

{d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}}

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

{d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Pela diferenciação de ambas equações e solucionando com as devidas condições iniciais

{\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0}

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

{\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}}

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

nos leva a:

x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t)

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Agora nós estamos prontos para diretamente comutar a relação do comutador:

[x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

[p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

[x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Perceba que para $t_{1}=t_{2}$ , simplesmente obteremos a já conhecida relação de comutação canônica.

Pesquisar este blog

REPRESENTAÇÃO DE GRACELI [ NA MEC. QUÂNTICA]

Definição

Vetor do estado quântico

Operadores

Operador hamiltoniano

Matriz densidade

Equações da evolução temporal

Estados da evolução temporal

Operadores da evolução temporal

Evolução temporal da matriz densidade

O operador de evolução temporal

Definição

Propriedades

Primeira propriedade

Segunda propriedade

Terceira propriedade

Equação diferencial para o operador da evolução temporal

Detalhes matemáticos

Derivando a equação de Heisenberg

Relacionamento do comutador

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog